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1、试题题目:设函数f(x)=x|x-a|+b(1)求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0;..

发布人:繁体字网(北京赛车pk10软件 www.runjincore.com) 发布时间:2015-11-20 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=x|x-a|+b
(1) 求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0;
(2)设常数b<2
2
-3,求对任意x∈[0,1],f(x)<0的充要条件.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:充分条件与必要条件



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)充分性:若a2+b2=0∴a=b=0
∴f(x)=x|x|对任意的x∈R都有f(-x)+f(x)=0
∴f(x)为奇函数,故充分性成立.(2分)
必要性:若f(x)为奇函数
则对任意的x∈R都有f(-x)+f(x)=0恒成立,
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0
令x=0,得b=0;令x=a,得a=0.∴a2+b2=0(6分)
(2)由b<2
2
-3<0,当x=0时a取任意实数不等式恒成立
当0<x≤1时f(x)<0恒成立,也即x+
b
x
<a<x-
b
x
恒成立
令g(x)=x+
b
x
在0<x≤1上单调递增,∴a>gmax(x)=g(1)=1+b(10分)
令h(x)=x-
b
x
,则h(x)在(0,
-b
]上单调递减,[
-b
,+∞)单调递增
1°当b<-1时h(x)=x-
b
x
在0<x≤1上单调递减
∴a<hmin(x)=h(1)=1-b.∴1+b<a<1-b.(12分)
2°当-1≤b<2
2
-3时,h(x)=x-
b
x
≥2
-b
,
∴a<hmin(x)=2
-b
,∴1+b<a<2
-b
.(14分)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

北京赛车pk10软件 www.runjincore.com     经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)=x|x-a|+b(1)求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0;..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中充分条件与必要条件”。


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